Principe de récurrence - Exemple

On considère la suite  \((u_n)\) définie par  `u_0=0` et, pou r tout entier naturel `n` ,   `u_{n+1}=u_n+2n+1` .
On calcule les premiers termes de la suite :   `u_0=0`  ; `u_1=1`  ; `u_2=4`  ; `u_3=9` .
On souhaite démontrer que, pour tout entier naturel `n` , `u_n=n^2` .
Pour tout entier naturel `n` , on pose  `P_n` : «   \(u_n=n^2\) ».

• Initialisation  
  `u_0=0`   et  `0^2=0` .
  `u_0=0^2`  donc  `P_0` est vraie.
  
• Hérédité
  Soit  `n` un entier naturel fixé.
  On suppose que `u_n=n^2` .
  On montre que `u_{n+1}=(n+1)^2` .   
  D'après la définition de la suite, on sait que `u_{n+1}=u_n+2n+1` .
  On a donc, d'après l'hypothèse de récurrence, `u_{n+1}=n^2+2n+1` .
  D'après  la première  identité remarquable,  `u_{n+1}=(n+1)^2` et ainsi `P_{n+1}` est vraie.
  
• Conclusion
  Par récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) ,  `u_n=n^2` .